Question

10．在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=AD=4，BC=2，若P为线段CD上一点，且满足$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=5，则$|{\overrightarrow{PA}}$|=$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由题意和向量的线性运算求出$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{PC}$，再求出$\overrightarrow{PC}$和$\overrightarrow{PB}$，代入$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，利用向量的数量积运算化简即可．

解答 解：由题意可得，BC∥AD、BC=2，AD=4，则$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}$，
所以$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，
因为P为CD的中点，所以$\overrightarrow{DP}$=$λ\overrightarrow{DC}$=-λ（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$），
因为$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{PD}$$+\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{PD}$-2$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CB}$，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PD}-2\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CB}$）=（λ$\overrightarrow{BA}$+$λ\overrightarrow{BC}$-2$\overrightarrow{BC}$）[（1-λ）λ（$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}$）]=5，又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，且AB=4，BC=2，
所以λ=$\frac{1}{2}$；
所以$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{PD}$$+\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{PD}$-2$\overrightarrow{BC}$，
$|{\overrightarrow{PA}}$|=$\sqrt{P{D}^{2}+4B{C}^{2}-4\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{BC}}$=$\sqrt{13}$；
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了平面向量的加减运算、数量积运算以及模的求法；属于中档题．