Question

13．设$max\{a，b\}=\left\{{\begin{array}{l}a&{（a≥b）}\\ b&{（a＜b）}\end{array}}\right.$，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得F≥|x²-4y+m|，F≥|y²-2x+n|，相加，由绝对值不等式的性质和配方方法，可得最小值．

解答 解：F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}，
可得F≥|x²-4y+m|，F≥|y²-2x+n|，
即有2F≥|x²-4y+m|+|y²-2x+n|
≥|x²-4y+m+y²-2x+n|
=|x²-2x+y²-4y+6|
=|（x-1）²+（y-2）²+1|≥1，
即有2F≥1，
即F≥$\frac{1}{2}$，
可得x=1，y=2时，F取得最小值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用绝对值不等式的性质和配方思想，考查运算能力，属于中档题．