Question

11．在平面几何中，三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆半径之积，类比之，在立体几何中，三棱锥的体积等于其表面积的$\frac{1}{3}$与其内切球半径之积（用文字表述）

Answer 1

分析 由题意画出图形，把三棱锥的体积转化为四个三棱锥的体积，可得三棱锥的体积等于其表面积的$\frac{1}{3}$与其内切球半径之积．

解答 解：如图，

设三棱锥A-BCD的内切球球心为O，
连接OA，OB，OC，OD，
则O到三棱锥四个面的距离为球的半径r，
∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}•r+\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•r+$$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•r+\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•r$
=$\frac{1}{3}（{S}_{△ABC}+{S}_{△ACD}+{S}_{△ABD}+{S}_{△BCD}）•r$．
故答案为：其表面积的$\frac{1}{3}$与其内切球半径之积．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，训练了等积法，考查了类比推理的应用，是基础题．