Question

1．以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线l交椭圆C于M、N两点，P为椭圆C上的点，且与M、N不关于坐标轴对称，设直线MP、NP的斜率分别为k₁，k₂，试问：k₁，k₂的乘积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=2，即a²-b²=4，将A（2，3）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可设M（m，n），N（-m，-n），P（s，t），代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式计算即可得到所求定值．

解答 解：（1）由题意可得c=2，即a²-b²=4，
将A（2，3）代入椭圆方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，
解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）由题意可设M（m，n），N（-m，-n），P（s，t），
可得$\frac{{m}^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{12}$=1，$\frac{{s}^{2}}{16}$+$\frac{{t}^{2}}{12}$=1，
相减可得$\frac{（m-s）（m+s）}{16}$=-$\frac{（n-t）（n+t）}{12}$，
则k₁•k₂=$\frac{n-t}{m-s}$•$\frac{n+t}{m+s}$=-$\frac{12}{16}$=-$\frac{3}{4}$．
即有k₁，k₂的乘积为定值-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足方程，考查直线的斜率之积为定值问题，注意运用点差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．