Question

19．如图，在四棱锥A-BDEC中，AD⊥平面BDEC，底面BDEC为直角梯形，∠BDE=90°，BC∥DE，AD=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=2DE=1，
（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABE；
（Ⅱ）求点E到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，根据各边长度求出各点坐标，求出平面ADC和面ABE的法向量，将问题转化为证明两个平面的法向量垂直；
（2）求出平面ABC的法向量，则E到平面ABC的距离为$\overrightarrow{BE}$在平面ABC的法向量上的投影的绝对值．

解答 证明：（1）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AD=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=2DE=1，∴A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），D（0，0，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{DA}$=（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），$\overrightarrow{BA}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0）．
设平面ADC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），平面ABE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（a，b，c），
则$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}⊥\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}⊥\overrightarrow{BE}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}x+y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\\{-\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{2}$得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{2}$，-1，0），令c=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\sqrt{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=$\sqrt{2}-\sqrt{2}+0$=0，
∴面ADC⊥面ABE．
（2）$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{3}}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{{n}_{3}}⊥\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{{n}_{3}}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{{n}_{3}}$=（1，0，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{3}}•\overrightarrow{BE}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．而|$\overrightarrow{{n}_{3}}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{BE}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{3}}$，$\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{3}}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{{n}_{3}}||\overrightarrow{BE}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴E点到平面ABC的距离d=|$\overrightarrow{BE}$|•|cos＜$\overrightarrow{{n}_{3}}$，$\overrightarrow{BE}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，点到平面的距离，使用空间向量解题是常用方法之一．