Question

9．某初中对初二年级的学生进行体质测试，已知初二一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：
男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”；
女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．
（1）求女生立定跳远成绩的中位数；
（2）若在男生中用分层抽样的方法抽取6个人，求抽取成绩“合格”的学生人数；
（3）若从全班成绩“合格”的学生中选取2个人参加复试，用X表示其中男生的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由茎叶图能求出女生立定跳远成绩的中位数．
（Ⅱ）男生中成绩“合格”有8人，“不合格”有4人，由此用分层抽样的方法，能求出成绩“合格”的学生应抽取的人数．
（Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由茎叶图得女生立定跳远成绩的中位数为：$\frac{165+168}{2}=166.5$cm．…（3分）
（Ⅱ）男生中成绩“合格”有8人，“不合格”有4人，
用分层抽样的方法，其中成绩“合格”的学生应抽取6×$\frac{8}{12}$=4人．…（6分）
（Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2，
则P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{0}{C}_{10}^{2}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{5}{17}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{10}^{1}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{80}{153}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{10}^{0}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{28}{153}$，
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{17}$	$\frac{80}{153}$	$\frac{28}{153}$

…（10分）
∴EX=$0×\frac{5}{17}+1×\frac{80}{153}+2×\frac{28}{153}$=$\frac{8}{9}$．…（12分）

点评 本题考查茎叶图的应用，考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．