Question

10．已知函数f（x）=lnx-x．
（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）证明：|f（x）|＞$\frac{lnx}{x}$；
（3）设m＞n＞0，比较$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$与$\frac{m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；
（2）求出f（x）的导数，求得单调区间，可得最大值-1，即有|f（x）|的最小值；求得g（x）=$\frac{lnx}{x}$的导数，求出最大值，即可得证；
（3）将两数作差可得$\frac{1}{m-n}$[ln$\frac{m}{n}$-$\frac{（\frac{m}{n}）^{2}-\frac{m}{n}}{（\frac{m}{n}）^{2}+1}$]，设t=$\frac{m}{n}$（t＞1），即有h（t）=lnt-$\frac{{t}^{2}-t}{{t}^{2}+1}$，求出导数，判断符号，可得单调性，即可得到大小关系．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-x的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
可得函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为k=0，
切点为（1，-1），
可得切线的方程为y=-1；
（2）证明：f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f（x）在x＞1递减，在0＜x＜1递增，可得
f（x）在x=1处取得极大值，且为最大值-1，
即有|f（x）|≥1；
又g（x）=$\frac{lnx}{x}$，导数g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$
由g（x）在x＞e递减，在0＜x＜e时递增，
可得g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$，
则|f（x）|＞$\frac{lnx}{x}$成立；
（3）$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$=$\frac{lnm-lnn}{m-n}$，
可得$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$-$\frac{m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$
=$\frac{1}{m-n}$[（lnm-lnn）-$\frac{{m}^{2}-mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}$]
=$\frac{1}{m-n}$[ln$\frac{m}{n}$-$\frac{（\frac{m}{n}）^{2}-\frac{m}{n}}{（\frac{m}{n}）^{2}+1}$]，
设t=$\frac{m}{n}$（t＞1），即有h（t）=lnt-$\frac{{t}^{2}-t}{{t}^{2}+1}$，
h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{{t}^{2}+2t-1}{（1+{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{{t}^{3}（t-1）+t+1}{t（1+{t}^{2}）^{2}}$＞0，
则h（t）在t＞1递增，可得h（t）＞h（1）=0，
即有$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$-$\frac{m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$＞0，
即$\frac{f（m）+m-[f（n）+n]}{m-n}$＞$\frac{m}{{m}^{2}+{n}^{2}}$．

点评 本题看出导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化思想，求得最值，考查两数大小比较，注意运用构造函数，运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．