Question

5．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，若点M（-2，y）在抛物线上，且点M到该抛物线焦点的距离为3，
（1）求抛物线的标准方程及点M的坐标．
（2）过点C（-3，$\frac{1}{2}$）做直线l，使得直线l与抛物线相交于A，B两点．恰好C为弦AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设抛物线的方程为：y²=2px（p＜0）．由于点M（-2，y）到该抛物线焦点F的距离为3，可得2-$\frac{P}{2}$=3，解得p即可得出，再代值计算即可求出M的坐标，
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法和中点坐标公式即可求出直线AB的斜率，再根据点斜式方程即可求出答案．

解答 解：（1）由题意可设抛物线的方程为：y²=2px（p＜0）．
∵点M（-2，y）到该抛物线焦点F的距离为3，
∴2-$\frac{P}{2}$=3，解得p=-2．
∴抛物线的方程为：y²=-4x，
∵点M（-2，y）在抛物线上，
∴y²=8，
∴y=$±2\sqrt{2}$，
∴M（-2，2$\sqrt{2}$），或（-2，-2$\sqrt{2}$）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁²=-4x₁，y₂²=-4x₂，
∴y₁²-y₂²=（y₁-y₂）（y₁+y₂）=-4（x₁-x₂）
∵C（-3，$\frac{1}{2}$），恰好C为弦AB的中点，
∴y₁+y₂=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-4，
∴直线方程为y-$\frac{1}{2}$=-4（x+3），即8x+2y+23=0．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦半径公式、以及点差法求出直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．