Question

10．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=60°，AC=CC₁=2，BC=1，E，F分别是A₁C₁，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC₁的体积．

Answer 1

分析 （I）由余弦定理计算AB，利用勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，由BB₁⊥平面ABC得BB₁⊥AB，故AB⊥平面B₁BCC₁，从而平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（II）过B作BD⊥AC于D，则BD⊥平面ACC₁A₁，于是V${\;}_{E-AB{C}_{1}}$=V${\;}_{B-AE{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AE{C}_{1}}•BD$．

解答 （I）证明：∵AC=2，BC=1，∠ACB=60°
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}-2AC•BC•cos60°}$=$\sqrt{3}$．
∴AB²+BC²=AC²，∴AB⊥BC．
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁，
∴BB₁⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，
∴BB₁⊥AB，
又BC?平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁．又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁．
（II）解：过B作BD⊥AC于D，
∵AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，
∴AA₁⊥BD，又AA₁?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BD=\frac{1}{2}AB•BC$，∴BD=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵S${\;}_{△AE{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×E{C}_{1}×A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴V${\;}_{E-AB{C}_{1}}$=V${\;}_{B-AE{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AE{C}_{1}}•BD$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．