Question

19．若过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长为16的三角形，此椭圆的离心率为0.5，求这个椭圆方程．

Answer 1

分析 设左、右焦点分别为F，F'，两个交点为A，B，由椭圆的定义可得|AF|+|AF'|=|BF|+|BF'|=2a，则4a=16，运用离心率公式可得c=2，求得b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设左、右焦点分别为F，F'，两个交点为A，B，
由椭圆的定义可得|AF|+|AF'|=|BF|+|BF'|=2a，
即有三角形的周长为4a=16，解得a=4，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得c=2，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．