Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2$\sqrt{2}$，且斜率为$\sqrt{3}$的直线l过椭圆C的焦点及点（0，-2$\sqrt{3}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知一直线m过椭圆C的左焦点F，交椭圆于点P、Q，若直线m与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）直线l的方程为y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$，焦点坐标为（2，0），又椭圆C的短轴长为2$\sqrt{2}$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设点M（m，0），左焦点为F（-2，0），设直线PQ的方程为x=$\frac{y}{k}-2$，与椭圆联立，得（$\frac{1}{{k}^{2}}+3$）y²-$\frac{4y}{k}$-2=0，由此利用韦达定理、角平分线性质、椭圆性质，结合已条条件能求出点M坐标．

解答 解：（1）由题意可知，直线l的方程为y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$，…（1分）
∵直线l过椭圆C的焦点，
∴该焦点坐标为（2，0），∴c=2，又椭圆C的短轴长为2$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{2}$，∴a²=b²+c²=4+2=6，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（4分）
（2）设点M（m，0），左焦点为F（-2，0），可设直线PQ的方程为x=$\frac{y}{k}-2$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{y}{k}-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（$\frac{1}{{k}^{2}}+3$）y²-$\frac{4y}{k}$-2=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{4k}{3{k}^{2}+1}$，y₁•y₂=$\frac{-2{k}^{2}}{3{k}^{2}+3}$，…（8分）
∵MF为∠PMQ的一条角平分线，∴k_PM+k_QM=0，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，…（9分）
又${x}_{1}=\frac{{y}_{1}}{k}-2$，${x}_{2}=\frac{{y}_{2}}{k}-2$，代入上式可得$\frac{2}{k}{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）-m（{y}_{1}+{y}_{2}）=0$，
∴$\frac{2}{k}（\frac{-2{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}）-（2+m）（\frac{4k}{1+3{k}^{2}}）=0$，解得m=-3，
∴点M（-3，0）．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、角平分线性质、椭圆性质的合理运用．