Question

14．如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2．
（1）证明：EF⊥BD；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由地面ABCD是正方形，可得BD⊥AC，又EA⊥平面ABCD，可得BD⊥EA，然后利用线面垂直的判定得BD⊥平面EACF，最后可得EF⊥BD；
（2）把多面体ABCDEF的体积转化为2倍的棱锥B-ACFE的体积求解．

解答 （1）证明：∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵EA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥EA，
∵EA、AC?平面EACF，EA∩AC=A，
∴BD⊥平面EACF，
又∵EF?平面EACF，
∴EF⊥BD；
（2）解：∵ABCD是边长为2的正方形，
∴AC=$2\sqrt{2}$，
又EA=1，FC=2，
∴${S}_{ACEF}=\frac{1}{2}（1+2）•2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
∴${V_{ABCDEF}}=2{V_{B-ACEF}}=2×\frac{1}{3}×{S_{ACEF}}×\frac{BD}{2}=4$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查了多面体体积的求法，训练了等积法，是中档题．