Question

16．数列{a_n}的前n项和S_n满足：2S_n=3a_n-6n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设$b{\;}_n=\frac{a_n}{λ^n}$，其中常数λ＞0，若数列{b_n}为递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由2S_n=3a_n-6n（n∈N^*），利用递推关系化为：a_n+3=3（a_n-1+3），利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）$b{\;}_n=\frac{a_n}{λ^n}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{{λ}^{n}}$，其中常数λ＞0，利用数列{b_n}为递增数列，可得b_n+1＞b_n，化简即可得出．

解答 解：（I）∵2S_n=3a_n-6n（n∈N^*），∴n=1时，2a₁=3a₁-6，解得a₁=6．
当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=3a_n-6n-[3a_n-1-6（n-1）]，化为：a_n+3=3（a_n-1+3）．
∴数列{a_n+3}是等比数列，首项为9，公比为3．
∴a_n+3=9×3^n-1，
∴a_n=3ⁿ⁺¹-3．
（II）$b{\;}_n=\frac{a_n}{λ^n}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{{λ}^{n}}$，其中常数λ＞0，
∵数列{b_n}为递增数列，
∴b_n+1＞b_n，
∴$\frac{{3}^{n+2}-3}{{λ}^{n+1}}$＞$\frac{{3}^{n+1}-3}{{λ}^{n}}$，
化为：λ＜$\frac{{3}^{n+1}-1}{{3}^{n}-1}$=3+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$．
∵数列$\{\frac{2}{{3}^{n}-1}\}$单调递减，
∴0＜λ≤3．
∴λ的取值范围是（0，3]．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．