Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，△ABC与△PAB均为等边三角形，AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$CD，PC=$\frac{3}{2}$AB．
（1）若三棱锥P-ABC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求四边形ABCD的面积．
（2）N为DP上一点，且$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DN}$，在线段AB上是否存在一点M，使MN∥平面PBC，若存在．求出$\frac{AM}{AB}$，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）在△ADC中，设AD=a，由AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$CD，可得△ADC是∠ADC为直角的直角三角形，再由△ABC与△PAB均为等边三角形，得到AB=BC=PA=PB=$\sqrt{2}a$，取AB中点O，在△POC中，利用余弦定理求得∠POC=120°，然后求解直角三角形求得棱锥的高，结合三棱锥P-ABC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$求得a值，则四边形ABCD的面积可求；
（2）分别以OB，OC所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，得到B，C，P，A，D的坐标，求出平面PBC的一个法向量$\overrightarrow{m}=（3，-\sqrt{3}，0）$，由$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DN}$，得N的坐标，假设在线段AB上存在一点M，使MN∥平面PBC，设$\frac{AM}{AB}$=λ（0≤λ≤1），把M的坐标用含有λ的代数式表示，由$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{m}=0$，求得$λ=\frac{3-2\sqrt{3}}{8}＜0$，说明假设错误．故在线段AB上不存在点M，使MN∥平面PBC．

解答 解：（1）在△ADC中，设AD=a，
由AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$CD，得CD=a，AC=$\sqrt{2}a$，
∴△ADC是∠ADC为直角的直角三角形，
∵△ABC与△PAB均为等边三角形，
则AB=BC=PA=PB=$\sqrt{2}a$，
取AB中点O，连接PO，CO，则$PO=CO=\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
在△POC中，$cos∠POC=\frac{（\frac{\sqrt{6}}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}a）^{2}-（\frac{3\sqrt{2}}{2}a）^{2}}{2•\frac{\sqrt{6}}{2}a•\frac{\sqrt{6}}{2}a}$=$-\frac{1}{2}$．
∴∠POC=120°，
过P作PG⊥CO的延长线于G，则∠POG=60°，
可得PG=PO•sin60°=$\frac{3\sqrt{2}}{4}a$．
由PO⊥AB，CO⊥AB，可知平面POC⊥平面ABCD，
又平面POC∩平面ABCD=CO，且PG⊥CO，
∴PG⊥平面ABCD，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}a•\frac{\sqrt{6}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
∴${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}•\frac{3\sqrt{2}}{4}a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$．
∴${S}_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{2}×（\sqrt{2}）^{2}+\frac{1}{2}×（\sqrt{2}）^{2}=\sqrt{3}+1$；
（2）分别以OB，OC所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，
则B（$\frac{\sqrt{2}a}{2}，0，0$），C（0，$\frac{\sqrt{6}a}{2}$，0），P（0，$-\frac{\sqrt{6}a}{4}$，0），A（-$\frac{\sqrt{2}a}{2}，0，0$），D（$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a，\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a，0$），
$\overrightarrow{PB}=（\frac{\sqrt{2}}{2}a，\frac{\sqrt{6}a}{2}，0）$，$\overrightarrow{PC}=（0，\frac{3\sqrt{6}a}{4}，0）$，
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}ax+\frac{\sqrt{6}}{2}ay=0}\\{\frac{3\sqrt{6}}{4}ay=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{m}=（3，-\sqrt{3}，0）$，
设N（x₁，y₁，z₁），由$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DN}$，得$（-{x}_{1}，-\frac{\sqrt{6}a}{4}-{y}_{1}，-{z}_{1}）=\sqrt{3}$$（{x}_{1}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a，{y}_{1}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}a，{z}_{1}）$，
解得：N（$-\frac{\sqrt{6}}{4}a，\frac{\sqrt{2}}{8}a，0$），
假设在线段AB上存在一点M，使MN∥平面PBC，设$\frac{AM}{AB}$=λ（0≤λ≤1），
则$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，设M（x₂，y₂，z₂），
则$（{x}_{2}+\frac{\sqrt{2}a}{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）=（\sqrt{2}aλ，0，0）$，
∴M（$\sqrt{2}aλ-\frac{\sqrt{2}a}{2}$，0，0），
则$\overrightarrow{MN}=（-\frac{\sqrt{6}}{4}a-\sqrt{2}aλ+\frac{\sqrt{2}}{2}a，\frac{\sqrt{2}}{8}a，0）$，
由$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{m}=0$，得$-\frac{3\sqrt{6}}{4}a-3\sqrt{2}aλ+\frac{3\sqrt{2}}{2}a-\frac{3\sqrt{2}}{8}a=0$，解得：$λ=\frac{3-2\sqrt{3}}{8}＜0$．
∴假设错误．
故在线段AB上不存在点M，使MN∥平面PBC．

点评 本题考查了棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，考查计算能力，训练了利用空间向量判定线面平行问题，是中档题．