Question

3．已知函数f（x）=x²+b，g（x）=ax+aln（x-1），若存在实数a（a≥1），使y=f（x），y=g（x）的图象无公共点，则实数b的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． （-$\frac{3}{4}$-ln2，1]
• C． （-$\frac{3}{4}$-ln2，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{3}{4}$-ln2]

Answer 1

分析 若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，则等价为f（x）-g（x）＞0或f（x）-g（x）＜0恒成立，利用参数分离法，转化为求函数的最值，构造函数，求函数的导数，利用导数进行求解即可．

解答 解：若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象无公共点，
则等价为f（x）-g（x）＞0或f（x）-g（x）＜0恒成立，
即x²-ax-aln（x-1）+b＞0或，x²-ax-aln（x-1）+b＜0恒成立，
即x²-ax-aln（x-1）＞-b或x²-ax-aln（x-1）＜-b恒成立，
设h（x）=x²-ax-aln（x-1），则函数h（x）的定义域为（1，+∞），
函数的导数h′（x）=2x-a-$\frac{a}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{a+2}{2}）}{x-1}$，
当a≥1时，$\frac{a+2}{2}$≥$\frac{3}{2}$，
故x∈（1，$\frac{a+2}{2}$）时，h′（x）＜0，
x∈（ $\frac{a+2}{2}$，+∞）时，h′（x）＞0，
即当x=$\frac{a+2}{2}$时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（ $\frac{a+2}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-aln$\frac{a}{2}$，
设G（a）=h（$\frac{a+2}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-aln$\frac{a}{2}$，
则G（a）在[1，+∞）上为减函数，
∴G（a）的最大值为G（1）=$\frac{3}{4}$+ln2，
故h（x）的最小值h（$\frac{a+2}{2}$）≤$\frac{3}{4}$+ln2，
则若x²-ax-aln（x-1）＞-b，
则b＞-$\frac{3}{4}$-ln2，
若x²-ax-aln（x-1）＜-b恒成立，则不成立，
综上b＞-$\frac{3}{4}$-ln2，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的相交问题，构造函数，利用参数分类法，结合导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．