Question

12．已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
（Ⅰ）求g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$的单调区间；
（Ⅱ）若m＞n＞1，求证：$\frac{{\root{m}{n}}}{{\root{n}{m}}}$＞$\frac{n}{m}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（1）=1，求出a，求出g（x）的解析式，通过求解函数的导数，利用导数的符号，求解函数的单调区间．
（Ⅱ）利用分析法证明$\frac{{\root{m}{n}}}{{\root{n}{m}}}＞\frac{n}{m}$，m＞n＞1，通过两边取对数，结合函数的单调性，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=（a-1）+lnx+1=a+lnx，而f′（1）=1，因而a=1，
f（x）=xlnx，
$g（x）=\frac{f（x）}{x-1}=\frac{xlnx}{x-1}$，$g′（x）=\frac{（x-1）-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}$…（2分）
设h（x）=x-1-lnx，其中x＞0，则$h′（x）=1-\frac{1}{x}$
则h′（x）=0得x=1
当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减
当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）的最小值为0，
因而h（x）≥0，即$g′（x）=\frac{（x-1）-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}≥0$
那么g（x）在（0，+∞）上单调递增．…（6分）
（Ⅱ）若证明$\frac{{\root{m}{n}}}{{\root{n}{m}}}＞\frac{n}{m}$，m＞n＞1，两边取对数，
则需证明$\frac{1}{m}lnn-\frac{1}{n}lnm＞lnn-lnm$
即证明$\frac{mlnm}{m-1}＞\frac{nlnn}{n-1}$，由（1）g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m＞n＞1时，$\frac{mlnm}{m-1}＞\frac{nlnn}{n-1}$成立，
因而$\frac{{\root{m}{n}}}{{\root{n}{m}}}＞\frac{n}{m}$成立．…（12分）

点评 本题考查函数的单调性以及函数的切线方程的应用，分析法证明不等式以及函数的单调性的应用，考查转化思想就分类讨论思想的应用．