Question

2．已知命题p：?x₀∈R，使x₀+$\frac{1}{3}$m=${e^{x_0}}$；（e是自然对数的底数），命题q：椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{5}$=1的离心率的范围是$（{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}）$．若（?p）∨（?q）为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：利用导数研究函数的单调性可得命题p中的m的取值范围，对于命题q：命题q为真时，$\left\{\begin{array}{l}m＞5\\ \frac{1}{4}＜\frac{m-5}{m}＜\frac{4}{9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}0＜m＜5\\ \frac{1}{4}＜\frac{5-m}{5}＜\frac{4}{9}\end{array}\right.$，解出即可得出．由（?p）∨（?q）为假命题，即命题p、命题q都为真，即可得出．

解答 解：若命题p为真时，由函数x+$\frac{1}{3}$m=e^x，转化为：$\frac{1}{3}$m=e^x-x，设函数f（x）=e^x-x，
∵f'（x）=e^x-1，f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）=e^x-x的值域为[1，+∞），
∴$\frac{1}{3}m$≥1，解得m≥3．
若命题q为真时，①m＞5时，焦点在x轴上，离心率e的平方e²=$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$∈$（\frac{1}{4}，\frac{4}{9}）$，可得：$\left\{\begin{array}{l}m＞5\\ \frac{1}{4}＜\frac{m-5}{m}＜\frac{4}{9}\end{array}\right.$，
②5＞m＞0时，焦点在y轴上，同理可得$\left\{\begin{array}{l}0＜m＜5\\ \frac{1}{4}＜\frac{5-m}{5}＜\frac{4}{9}\end{array}\right.$．
解①得$\frac{20}{3}＜m＜9$，解②得$\frac{25}{9}＜m＜\frac{15}{4}$，．
（?p）∨（?q）为假命题，即命题p、命题q都为真，
故m的取值范围为  $\frac{20}{3}＜m＜9$或 $3≤m＜\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．