Question

15．某企业拟对员工进行一次伤寒疫情防治，共有甲、乙、丙三套方案．在员工中随机抽取6人，并对这6人依次检查．如果这6人都没有感染伤寒，就不采取措施；如果6人中只有1人或2人感染伤寒，就用甲方案；如果这6人中只有3人感染伤寒，就用乙方案，其余用丙方案．
（Ⅰ）若这6人中只有2人感染伤寒，求检查时恰好前2人感染伤寒的概率；
（Ⅱ）若每个员工感染伤寒的概率为$\frac{1}{2}$，求采用乙方案的概率；
（Ⅲ）这次伤寒疫情防治的费用为ξ元．当员工无人感染伤寒时，ξ为0，采用甲、乙、丙三套方案的ξ分别为512、512和1024．求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由这6人中只有2人感染伤寒，利用相互独立事件概率乘法公式能求出检查时恰好前2人感染伤寒的概率．
（Ⅱ）由这6人中只有3人感染伤寒，就用乙方案，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出采用乙方案的概率．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值为0，512，1024，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）∵这6人中只有2人感染伤寒，
∴检查时恰好前2人感染伤寒的概率：P₁=$\frac{2}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{15}$．
（Ⅱ）∵这6人中只有3人感染伤寒，就用乙方案，
∴采用乙方案的概率P₂=${C}_{6}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（1-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{5}{16}$，
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值为0，512，1024，
P（ξ=0）=${C}_{6}^{0}（\frac{1}{2}）^{6}$=$\frac{1}{64}$，
P（ξ=512）=${C}_{6}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{5}$+${C}_{6}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{4}+{C}_{6}^{3}（\frac{1}{2}{）^{3}（\frac{1}{2}）^{3}}_{\;}$=$\frac{41}{64}$，
P（ξ=1024）=${C}_{6}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）^{2}$+${C}_{6}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}（\frac{1}{2}）$+${C}_{6}^{6}（\frac{1}{2}）^{6}$=$\frac{22}{64}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	512	1024
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{41}{64}$	$\frac{22}{64}$

Eξ=$0×\frac{1}{64}+512×\frac{41}{64}+1024×\frac{22}{64}$=680．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．