Question

6．已知向量$\overrightarrow a$=（m，0}），向量$\overrightarrow b，\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow{b$，$\overrightarrow c$-$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow b$，且|$\overrightarrow c$|=$\sqrt{10}$，若$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$夹角的余弦值为$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，则|$\overrightarrow b$|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$或2
• D． $\sqrt{2}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 根据条件便可设$\overrightarrow{b}=（0，n）$，并可得出$\overrightarrow{c}=（m，2n），\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（m，n）$，从而根据$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{10}$，及$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞=\frac{3\sqrt{10}}{10}$即可得出关于m，n的方程组为：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}=\sqrt{10}}\\{\frac{{m}^{2}+2{n}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$，这两个方程联立消去m便可得出关于n的方程，从而解出|n|的值便可得出$|\overrightarrow{b}|$的值．

解答 解：由$\overrightarrow{a}=（m，0），\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$设$\overrightarrow{b}=（0，n）$；
∴由$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}$得，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=（m，2n）$；
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}=\sqrt{10}$；
∴m²+4n²=10；
∴m²=10-4n²①；
又$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（m，n）$；
∴$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}=\frac{{m}^{2}+2{n}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
∴${m}^{2}+2{n}^{2}=3\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，带入①并两边平方得：
（10-2n²）²=9（10-3n²）；
整理得，4n⁴-13n²+10=0；
∴解得n²=2，或$\frac{5}{4}$；
∴$|n|=\sqrt{2}，或\frac{\sqrt{5}}{2}$；
即$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}，或\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选D．

点评 考查引入向量坐标解决向量问题的方法，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标可求向量的长度，以及向量夹角余弦的坐标公式，消元法的运用，以及一元二次方程的解法，向量长度的概念．