Question

9．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$），且AC，BC所在直线的斜率之积等于$-\frac{3}{4}$．
（1）求顶点C的轨迹M的方程；
（2）当点P（1，t）为曲线M上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与曲线M交于E，F两点，直线PE，PF斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）C点坐标为（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，可得所求轨迹方程，注意去除y轴上的点；
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），令直线PE：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），联立椭圆方程，运用韦达定理求得E的坐标，同理将k换为-k，可得F的坐标，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）令C点坐标为（x，y），
则直线AC的斜率k₁=$\frac{y+\sqrt{3}}{x}$，直线BC的斜率k₂=$\frac{y-\sqrt{3}}{x}$，
因为两直线的斜率之积为$-\frac{3}{4}$，
所以有$\frac{{y-\sqrt{3}}}{x}•\frac{{y+\sqrt{3}}}{x}=-\frac{3}{4}$，
化简得到$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（x≠0）$，
所以轨迹M表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）两点；
（2）由题意曲线M为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠0），点P（1，$\frac{3}{2}$），
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），令直线PE：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），联立椭圆方程，
得（3+4k²）x²+8k（$\frac{3}{2}$-k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，
则x₁x_P=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，故x₁=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
同理x₂=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{2}-1）+\frac{3}{2}-[k（{x}_{1}-1）+\frac{3}{2}]}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{-k（{x}_{2}+{x}_{1}）+2k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k•（8{k}^{2}-6）+2k（3+4{k}^{2}）}{24k}$=$\frac{1}{2}$，
故直线EF斜率为为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查直线的斜率是否为定值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．