Question

20．已知二次函数g（x）=x²-2mx+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）设f（x）=$\frac{g（x）-2x}{x}$．若f（2x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]时恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数是二次函数，求出对称轴方程，利用二次函数的性质求解函数的最大值，推出m的值即可．
（2）通过不等式恒成立，转化为求解函数的最值问题，构造函数是二次函数，利用二次函数的对称性求解函数在闭区间上的最值即可．

解答 解：（1）g（x）=（x-m）²+1-m²
函数的对称轴为：x=m，
①m≤$\frac{3}{2}{，g（x）}_{max}$=g（3）=10-6m=4，解得m=1
②m＞$\frac{3}{2}{，g（x）}_{max}$=g（0）=1（不符题意）
∴g（x）=x²-2x+1．
（2）∵f（x）=$\frac{g（x）-2x}{x}$，∴f（x）=$x+\frac{1}{x}$-4．
∵f（2x）-k•2^x≤0在x∈[-3，3]时恒成立，即${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}-4-k•{2}^{x}≤0$在x∈[-3，3]时恒成立，
∴k≥$（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}$-4（$\frac{1}{{2}^{x}}$）+1在x∈[-3，3]时恒成立，只需k≥[$（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}$-4（$\frac{1}{{2}^{x}}$）+1]_max．
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，由x∈[-3，3]得t∈[$\frac{1}{8}$，8]．
设h（t）=t²-4t+1=（t-2）²-3，
∴函数h（t）的图象的对称轴方程为t=2．
当t=8时，取得最大值33．
∴k≥h（x）_max，∴k的取值范围为[33，+∞）．

点评 本题考查函数的最值的求法，二次函数的性质，函数恒成立以及构造法转化思想的应用，考查计算能力．