Question

1．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁a₂a₃=8，a₁+a₂+a₃=7且a₁＜a₂，若$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$∈[a，b]对任意的整数n都成立，则b-a的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据等比数列的性质列方程解出首项和公比，得出通项公式和前n项和公式，判断$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$的值域得出答案．

解答 解：∵a₁a₂a₃=a₂³=8，∴a₂=2，
设数列的公比为q，则a₁=$\frac{2}{q}$，a₃=2q，
∵a₁+a₂+a₃=7，∴$\frac{2}{q}+2q=5$，解得q=2或$\frac{1}{2}$．
∵a₁＜a₂，∴q=2．a₁=1．
∴a_n=2^n-1．S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴当n=1时，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$取得最小值2-1=1，
又$\frac{1}{{2}^{n-1}}＞0$，∴2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜2．
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$∈[1，2）．
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的性质，通项公式和前n项和公式，函数单调性的判断，属于中档题．