Question

11．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一机智的发现作为条件，求：
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x+1的图象对称中心为（1，2）；
（2）若函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+$\frac{2}{2x-1}$，则g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）=2015．

Answer 1

分析 （1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标
（2）由题意，将g（x）分解为两个函数，分别求出它们的对称中心，g（x）+g（1-x）=2，即可得到结论

解答 解：依题意，得：f′（x）=3x²-6x+3，∴f″（x）=6x-6．
由f″（x）=0，即6x-6=0．
∴x=1，
又 f（1）=2，
∴函数f（x）=x³-3x²+3x+1的图象对称中心为（1，2）；
（2）依题意，设h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，得：h′（x）=x²-x+3，∴h″（x）=2x-1
由h″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=$\frac{1}{2}$，
又 h（$\frac{1}{2}$）=1，
∴函数h（x）对称中心为（$\frac{1}{2}$，1）h（x）+h（1-x）=2
，；设m（x）=$\frac{2}{2x-1}$，它的对称中心为（$\frac{1}{2}$，0），∴m（x）+m（1-x）=0
∴m（x）+m（1-x）=0
∵g（x）=h（x）+m（x）
∴g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2
所以g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）=2015；
故答案为：（1，2）；2015．

点评 本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．