Question

3．已知|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=4，$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$），则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，求出角的大小即可．

解答 解：设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是θ，
∵|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=4，$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$），
∴$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-|$\overrightarrow a$|²=|$\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b$|cosθ-|$\overrightarrow a$|²=2×4cosθ-4=0，
即cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{3}$
故答案为：$\frac{π}{3}$

点评 本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直的应用，考查计算能力．