Question

8．已知$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-3，2），若k$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$与2$\overrightarrow a$-4$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则实数k的取值范围（-∞，-1）∪（-1，$\frac{50}{3}$）．

Answer 1

分析 先求出向量$k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$和$2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$的坐标，可设这两个向量夹角为θ，从而可根据向量夹角余弦的坐标公式即可求出$cosθ=\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}\sqrt{53}}$，而根据θ为钝角便可得出不等式$-1＜\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}\sqrt{53}}＜0$，解该不等式便可求出实数k的取值范围．

解答 解：$k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=（k-6，2k+4）$，$2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}=（14，-4）$；
设$k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$与$2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则：
$cosθ=\frac{（k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}）}{|k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}||2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{14（k-6）-4（2k+4）}{\sqrt{（k-6）^{2}+（2k+4）^{2}}\sqrt{1{4}^{2}+{4}^{2}}}$
=$\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}•\sqrt{53}}$；
∵θ为钝角；
∴-1＜cosθ＜0；
即$-1＜\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}\sqrt{53}}＜0$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k-50＜0}\\{\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}\sqrt{53}}＞-1}\end{array}\right.$；
解得$k＜\frac{50}{3}$，且k≠-1；
∴实数k的取值范围为$（-∞，-1）∪（-1，\frac{50}{3}）$．
故答案为：$（-∞，-1）∪（-1，\frac{50}{3}）$．

点评 考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，以及向量夹角余弦的坐标公式，清楚钝角余弦值的取值范围，以及分式不等式的解法，不等式的性质．