Question

17．已知△ABC中，M为线段BC上一点，AM=BM，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=2，AC²+3BC²=4，则△ABC的面积最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知数量积求得c，由AC²+3BC²=4结合余弦定理可得$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{2{b}^{2}+4}{6b}=\frac{{b}^{2}+2}{3b}$，把三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}bc•sinA$转化为含有b的代数式，然后利用配方法求得最大值．

解答 解：如图，M为线段BC上一点，且AM=BM，
由$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=2，得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{AB}|cos∠MAB=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=2$，
∴$|\overrightarrow{AB}|=c=2$，
∵AC²+3BC²=4，即b²+3a²=4，
∴${a}^{2}=\frac{4-{b}^{2}}{3}$，
$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{2{b}^{2}+4}{6b}=\frac{{b}^{2}+2}{3b}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bc•sinA=b•\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$b•\sqrt{1-\frac{{b}^{4}+4{b}^{2}+4}{9{b}^{2}}}$
=b•$\sqrt{\frac{-{b}^{4}+5{b}^{2}-4}{9{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{-{b}^{4}+5{b}^{2}-4}}{3}$=$\frac{\sqrt{-（{b}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}}{3}≤\frac{1}{2}$．
当且仅当${b}^{2}=\frac{5}{2}$时上式等号成立．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．