Question

5．已知：f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）若x∈R，求满足f（x）=0的x的值；
（2）若x∈R，求f（x）的最大值和最小值，并写出取最值时相应的x的值；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式将f（x）化简为f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，当f（x）=0，即sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，即可解得x的值；
（2）由（1）可知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，根据函数图象即可求得f（x）的值域；
（3）由正弦函数的定义域，运用函数图象即可求得值域，求得函数y的值域．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx，
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
f（x）=0，sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
解得：2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{6}$或2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{7}{6}π$，k∈Z，
x=kπ-$\frac{π}{6}$或x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
（2）当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，f（x）取最大值，最大值为：$\frac{3}{2}$，
即：x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，f（x）取最大值为：$\frac{3}{2}$；
当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，f（x）取最小值，最小值为：-$\frac{1}{2}$，
x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，f（x）取最大值为：-$\frac{1}{2}$；
（3）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，由正弦函数的图象可知，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域[0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查二倍角公式及正弦函数的最值和取最值时x的取值，化简过程简单，对学生的基础知识要求很严，属于中档题．