Question

13．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$．
（I）证明：对任意实数a，存在（α，β），α＜β，使得函数f（x）在（α，β）上是增函数；
（Ⅱ）若方程f（x）=x-1有三个不同实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再构造函数h（x）=-x²-2ax+2-2a，再求导，可得f′（x）≥0或f′（x）＜0，故函数f（x）存在单调递增区间，问得以证明．
（Ⅱ）判断函数f（x）的定义域为R，方程f（x）=x-1即为a=（x-1）（x²+2x+2）-x=x³+x²-x-2，令g（x）=x³+x²-x-2，求出导数，求得单调区间，极值，由题意可得a介于极小值和极大值之间

解答 解：（Ⅰ）：∵f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}-2ax+2-2a}{（{x}^{2}+2x+2）^{2}}$，
设h（x）=-x²-2ax+2-2a，
∴h′（x）=-2x-2a，
∴h′（x）∈（-∞，+∞），
∴f′（x）≥0或f′（x）＜0，
∴函数f（x）存在单调递增区间，
故对任意实数a，存在（α，β），α＜β，使得函数f（x）在（α，β）上是增函数；
（Ⅱ）由于x²+2x+2＞0恒成立，则f（x）的定义域为R，
由函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$．
方程f（x）=x-1即为
a=（x-1）（x²+2x+2）-x=x³+x²-x-2，
令g（x）=x³+x²-x-2，
则g′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令g′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-1，
令g′（x）＜0可得-1＜x＜$\frac{1}{3}$．
即有g（x）的增区间为（-∞，-1），（$\frac{1}{3}$，+∞），
减区间为（-1，$\frac{1}{3}$），
则g（x）的极小值为g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{59}{27}$，
极大值为g（-1）=-1．
方程f（x）=x-1有三个不同实数根，
即为直线y=a和函数y=g（x）有三个交点．
可得a的取值范围是（-$\frac{59}{27}$，-1）

点评 本题考查方程的根的个数，运用参数分离，转化为直线与函数的图象的交点个数，考查函数的极值求法，属于中档题．