Question

4．命题p：“|a|+|b|≤1”；命题q：“对任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”，则p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 a=b=0时，不等式asinx+bcosx≤1恒成立．a与b不全为0时，不等式asinx+bcosx≤1化为：sin（x+θ）≤$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，由于对任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”，可得$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≥1，化简即可判断出结论．

解答 解：a=b=0时，不等式asinx+bcosx≤1恒成立．
a与b不全为0时，不等式asinx+bcosx≤1化为：sin（x+θ）≤$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
∵对任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≥1，
∴a²+b²≤1，画出图象：可知：（a，b）表示的是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部．
而|a|+|b|≤1可知：（a，b）表示的是正方形ABCD及其内部．
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数求值、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．