Question

19．设P：$\overrightarrow a$=（m，m-1，m+1）与$\overrightarrow b$=（1，4，2）的夹角为锐角．Q：点（m，1）在椭圆$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{3}$=1的外部．若P与Q有且只有一个正确，求m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：关于命题p：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0但不同向
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=m+4（m-1）+2（m+1）=8m-2，
∴8m-2＞0解得m＞$\frac{1}{4}$，
当$\overline{a}$，$\overrightarrow{b}$同向时，存在λ＞0使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{m=λ}\\{m-1=4λ}\\{m+1=2λ}\end{array}\right.$，解得：m=1，
故p为真时：{m|m＞$\frac{1}{4}$且m≠1}；
关于命题q：点（m，1）在椭圆$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{3}$=1的外部，
则$\frac{{m}^{2}}{6}$+$\frac{1}{3}$＞1，解得：m＞2或m＜-2，
若P与Q有且只有一个正确，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{4}且m≠1}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{4}}\\{m＞2或m＜-2}\end{array}\right.$，
故m的范围是：（$\frac{1}{4}$，1）∪（1，2]∪（-∞，-2）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查向量以及椭圆问题，是一道中档题．