Question

17．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆E相交于不同的两点A、B，直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列．
（Ⅰ）求a，b，k的关系式；
（Ⅱ）若离心率$e=\frac{1}{2}$且$|{AB}|=\sqrt{7}|{m+\frac{1}{m}}|$，当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值？

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用等比数列的中项的性质，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，即可得到b=ak；
（Ⅱ）运用离心率公式，可得斜率k，再由弦长公式，结合条件，运用基本不等式即可得到所求最值，以及m的取值．

解答 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列，
得${k^2}={k_{OA}}•{k_{OB}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，可得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，
故△=（2a²km）²-4（b²+a²k²）（a²m²-a²b²）＞0，
即b²-m²+a²k²＞0，
又x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}km}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
则${k^2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}$，
即$km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=0$，
即$-\frac{{2{a^2}{k^2}{m^2}}}{{（{b^2}+{a^2}{k^2}）}}+{m^2}=0$，
又直线不经过原点，所以m≠0，
所以b²=a²k²即b=ak；
（Ⅱ）若$e=\frac{1}{2}$，则$a=2c，b=\sqrt{3}c$，${k^2}=\frac{3}{4}$，
又k＞0，得$k=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
则x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}km}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$m²-2c²，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$•$\sqrt{（-\frac{2\sqrt{3}m}{3}）^{2}-4（\frac{2}{3}{m}^{2}-2{c}^{2}）^{2}}$
=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}\sqrt{-\frac{{4{m^2}}}{3}+8{c^2}}=\sqrt{7}|{m+\frac{1}{m}}|$，
化简得$2{c^2}=\frac{{4{m^2}}}{3}+\frac{1}{m^2}+2≥\frac{{4\sqrt{3}}}{3}+2$（△＞0恒成立），
当$m=±\frac{{\root{4}{12}}}{2}$时，焦距最小．

点评 本题考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用和等比数列的中项的性质，以及弦长公式和基本不等式的运用，属于中档题．