Question

2．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为$\frac{1}{6}$，第二种检测不合格的概率为$\frac{1}{10}$，两种检测是否合格相互独立．
（Ⅰ）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利-80元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X表示这3台产品的获利，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（Ⅰ）记“每台新型防雾霾产品不能销售”为事件A，由此利用对立事件概率计算公式能求出每台新型防雾霾产品不能销售的概率．
（Ⅱ）由已知，可知X的取值为-240，-120，0，120．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及EX．

解答 解：（Ⅰ）（Ⅰ）记“每台新型防雾霾产品不能销售”为事件A，
则P（A）=1-（1-$\frac{1}{6}$）（1-$\frac{1}{10}$）=$\frac{1}{4}$．
所以，该产品不能销售的概率为$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）由已知，可知X的取值为-240，-120，0，120．
P（X=-240）=（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$，
P（X=-120）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）$=$\frac{9}{64}$，
P（X=0）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=120）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$，
∴X的分布列为：

X	-240	-120	0	120
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$

EX=-240×$\frac{1}{64}$-120×$\frac{9}{64}$+0×$\frac{27}{64}$+120×$\frac{27}{64}$=30．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．