Question

14．定义在（0，+∞）上函数f（x）满足对任意x，y∈（0，+∞），都有xyf（xy）=xf（x）+yf（y），记数列a_n=f（2ⁿ），有以下命题：
①f（1）=0；
②a₁=a₂；
③令函数g（x）=xf（x），则$g（x）+g（\frac{1}{x}）=0$；
④令数列b_n=2ⁿ•a_n，则数列{b_n}为等比数列．
其中真命题的序号为①②③．

Answer 1

分析 ①令x=y=1代入所给的式子求出f（1）的值，并判断①真假；
②令x=y=2代入式子化简，再结合数列的通项公式进行判断②的真假；
③令y=$\frac{1}{x}$代入式子化简后，再由函数g（x）的解析式转化，判断③真假；
④利用{b_n}的通项公式分别求出b₁、b₂、b₃，令x=2，y=4代入式子化简后，再由等比数列的定义判断④真假．

解答 解：①令x=y=1，代入xyf（xy）=xf（x）+yf（y）得，f（1）=0，①正确；
②令x=y=2，得4f（4）=2f（2）+2f（2），即f（4）=f（2），
又由a_n=f（2ⁿ）得，a₁=f（2），a₂=f（4），则a₁=a₂，②正确；
③令y=$\frac{1}{x}$，得f（1）=xf（x）+$\frac{1}{x}f（\frac{1}{x}）$
由g（x）=xf（x），得g（x）+g（$\frac{1}{x}$）=f（1）=0，③正确；
④由b_n=2ⁿ•a_n，得b₁=2a₁，b₂=4a₂，b₃=8a₃，而a₁=a₂，a₃=f（8），
令x=2，y=4，得8f（8）=2f（2）+4f（4），
化简得，f（8）=$\frac{3}{4}$f（2），即a₃=$\frac{3}{4}$a₂=$\frac{3}{4}$a₁，
显然b₁、b₂、b₃不是等比数列中的项，所以数列{b_n}不是等比数列，④错．
故其中正确命题的为：①②③．
故答案为：①②③

点评 本题考查了抽象函数，及数列通项公式和等比数列定义的应用，此题的关键是根据条件正确给x和y值，利用恒等式进行求解，考查了解决抽象函数问题常用的方法：赋值法．