Question

10．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：
男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．
女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．
（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；
（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用茎叶图能求出男生跳远成绩的中位数．
（Ⅱ）用分层抽样的方法，求出每个运动员被抽中的概率，根据茎叶图，女生有18人，由此能求出抽取的女生的人数．
（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（I）利用茎叶图，得男生跳远成绩的中位数$\frac{176+178}{2}=177$（cm）．…（2分）
（Ⅱ）用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是$\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$，…（4分）
根据茎叶图，女生有18人，
∴抽取的女生有$18×\frac{1}{6}=3$（人）；…（6分）
（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人…（7分）
X的取值为0，1，2，
则$P（X=0）=\frac{{C_{10}^2}}{{C_{18}^2}}=\frac{5}{17}$，
$P（X=1）=\frac{{C_8^1C_{10}^1}}{{C_{18}^2}}=\frac{80}{153}$，
$P（X=2）=\frac{C_8^2}{{C_{18}^2}}=\frac{28}{153}$，…（10分）
X的分布列如下：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{17}$	$\frac{80}{153}$	$\frac{28}{153}$

…（11分）
∴EX=$0×\frac{5}{17}+1×\frac{80}{153}+2×\frac{28}{153}$=$\frac{8}{9}$．…（12分）

点评 本题考查茎叶图、分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．