Question

20．已知A类产品共两件A₁，A₂，B类产品共三件B₁，B₂，B₃，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时，检测结束．
（Ⅰ）求第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用50元，设X表示直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品”的事件为C事件，由此利用等可能事件概率计算公式能求出第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为100、150、200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）记“第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品”的事件为C事件，
依题意有$P（C）=\frac{A_3^1•A_2^1}{A_5^2}=\frac{3}{10}$．…（4分）
（Ⅱ）X的可能取值为100、150、200，
$P（X=100）=\frac{A_2^2}{A_5^2}=\frac{1}{10}$，
$P（X=150）=\frac{A_3^3+C_3^1•C_2^1•A_2^2}{A_5^3}=\frac{3}{10}$，
$P（X=200）=1-\frac{1}{10}-\frac{3}{10}=\frac{6}{10}$，…（8分）
故X的分布列为

X	100	150	200
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$

…（10分）
$E（X）=100×\frac{1}{10}+150×\frac{3}{10}+200×\frac{6}{10}=175（元）$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．