Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，G为ABC的重心，延长线段AG交BC于F，B₁F交BC₁于E．
（1）求证：GE∥平面AA₁B₁B；
（2）平面AFB₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

Answer 1

分析 （1）连接AB₁，在平行四边形BCC₁B₁中，由△BEF∽△C₁EB₁，可得$\frac{{B}_{1}E}{EF}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BF}=2$，再由G为ABC的重心，得到$\frac{AG}{GF}=2$，说明EG∥AB₁，然后利用线面平行的判定可得GE∥平面AA₁B₁B；
（2）设底面ABC的面积为2S，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为h，求出棱锥体积，由棱柱体积与棱锥体积作差得到多面体ACF-A₁B₁C₁的体积，则答案可求．

解答 （1）证明：如图，连接AB₁，在平行四边形BCC₁B₁中，
∵B₁F∩BC₁=E，可知△BEF∽△C₁EB₁，
∵F为BC的中点，
∴$\frac{{B}_{1}E}{EF}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BF}=2$，
又G为ABC的重心，
∴$\frac{AG}{GF}=2$，则$\frac{{B}_{1}E}{EF}=\frac{AG}{GF}=2$，
∴EG∥AB₁，
∵AB₁?平面AA₁B₁B，EG?平面AA₁B₁B，
∴GE∥平面AA₁B₁B；
（2）解：设底面ABC的面积为2S，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为h，
则${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=2Sh$，${V}_{{B}_{1}-AFB}=\frac{1}{3}Sh$，
∴${V}_{ACF-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=2Sh-\frac{1}{3}Sh=\frac{5}{3}Sh$．
∴${V}_{ACF-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$：${V}_{{B}_{1}-AFB}$=5：1．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．