Question

10．设函数f（x）=2^|x+a|-|x+b|，
（Ⅰ）当a=0，b=-$\frac{1}{2}$时，求使f（x）≥$\sqrt{2}$的x取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≥$\frac{1}{16}$恒成立，求a-b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用y=2^x是增函数，转化f（x）$≥\sqrt{2}$为绝对值不等式，通过$x≥\frac{1}{2}$，$0＜x＜\frac{1}{2}$，x≤0时，分别求解绝对值不等式．
（Ⅱ）利用f（x）≥$\frac{1}{16}$，转化为绝对值不等式，利用绝对值三角不等式，化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由于y=2^x是增函数，f（x）$≥\sqrt{2}$等价于$|x|-|{x-\frac{1}{2}}|≥\frac{1}{2}$①
当$x≥\frac{1}{2}$时，$|x|-|{x-\frac{1}{2}}|=\frac{1}{2}$，则①式恒成立，
当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，$|x|-|{x-\frac{1}{2}}|=2x-\frac{1}{2}$，①式化为2x≥1，此时①式无解，
当x≤0时，$|x|-|{x-\frac{1}{2}}|=-\frac{1}{2}$，①式无解．
综上，x取值范围是$[{\frac{1}{2}，+∞}）$…（5分）
（Ⅱ）$f（x）≥\frac{1}{16}?|x+a|-|x+b|≥-4$②
而由||x+a|-|x+b||≤|x+a-x-b|=|a-b|⇒-|a-b|≤|x+a|-|x+b|≤|a-b|
∴要②恒成立，只需-|a-b|≥-4，即|a-b|≤4，
可得a-b的取值范围是[-4，4]．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．