Question

7．已知数列{a_n}中a₁，a₂的分别是直线2x+y-2=0的横、纵截距，且$\frac{{{a_{n+1}}-{a_{n-1}}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=2（n≥2，n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为a_n=（3n-4）（-1）ⁿ．

Answer 1

分析 数列{a_n}中a₁，a₂的分别是直线2x+y-2=0的横、纵截距，可得a₁=1，a₂=2.$\frac{{{a_{n+1}}-{a_{n-1}}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=2（n≥2，n∈N^*），化为：a_n+1+a_n=-（a_n+a_n-1），利用等比数列的通项公式可得：a_n+1+a_n=3×（-1）^n-1．变形为：$\frac{{a}_{n+1}}{（-1）^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{（-1）^{n}}$=3，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}中a₁，a₂的分别是直线2x+y-2=0的横、纵截距，∴a₁=1，a₂=2．
∵$\frac{{{a_{n+1}}-{a_{n-1}}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$=2（n≥2，n∈N^*），化为：a_n+1+a_n=-（a_n+a_n-1），
∴数列{a_n+1+a_n}是等比数列，首项为3，公比为-1．
∴a_n+1+a_n=3×（-1）^n-1．
变形为：$\frac{{a}_{n+1}}{（-1）^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{（-1）^{n}}$=3，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{（-1）^{n}}\}$是等差数列，公差为3，首项为-1．
∴$\frac{{a}_{n}}{（-1）^{n}}$=-1+3（n-1）=3n-4．
∴a_n=（3n-4）（-1）ⁿ．
故答案为：a_n=（3n-4）（-1）ⁿ．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．