Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上是否存在关于直线l：x+y=$\frac{1}{5}$对称的两点A、B，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=1，由离心率公式可得c，即可得到b，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）假设椭圆C上存在关于直线l：x+y=$\frac{1}{5}$对称的两点A、B，可设AB的方程为y=x+t，代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理、中点坐标公式，可得AB的中点，代入已知直线方程，求得t，即可判断存在．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
可得右焦点F（1，0），即c=1，
由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）假设椭圆C上存在关于直线l：x+y=$\frac{1}{5}$对称的两点A、B，
可设AB的方程为y=x+t，
代入椭圆方程2x²+3y²-6=0，可得
5x²+6tx+3t²-6=0，
即有△＞0，即36t²-20（3t²-6）＞0，
解得-$\sqrt{5}$＜t＜$\sqrt{5}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{6t}{5}$，
即有AB的中点坐标为（-$\frac{3t}{5}$，$\frac{2t}{5}$），
代入直线x+y=$\frac{1}{5}$，可得t=-1，
即有-1∈（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
则存在A，B，且AB的方程为y=x-1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查点关于直线的对称问题的解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．