Question

15．若定义在区间[-2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x₁，x₂∈[-2016，2016]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 4030
• D． 4032

Answer 1

分析 特殊值法：令x₁=x₂=0，得f（0）=2016，再令x₁+x₂=0，将f（0）=2016代入可得f（x）+f（-x）=4032．根据条件x＞0时，有f（x）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．

解答 解：∵对于任意的x₁，x₂∈[-2016，2016]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2016，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=2016，
再令x₁+x₂=0，将f（0）=2016代入可得f（x）+f（-x）=4032．
设x₁＜x₂，x₁，x₂∈[-2016，2016]，
则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-2016，
∴f（x₂）+f（-x₁）-2016＜2016．
又∵f（-x₁）=4032-f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁），
即函数f（x）是递减的，
∴f（x）max=f（-2016），f（x）min=f（2016）．
又∵f（2016）+f（-2016）=4032，
∴M+N的值为4032．
故选D．

点评 考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．