Question

5．设向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（3）当x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）可求出向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，从而进行向量数量积的坐标运算即可求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$，并化简便可得出f（x）=1-sin2x，从而由周期的计算公式即可求出函数f（x）的最小正周期；
（2）可根据x的范围求出2x的范围，根据正弦函数的图象便可求出sin2x的范围，进一步得出1-sin2x的范围，即f（x）的范围，即得出f（x）的值域．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（sinx-cosx，cosx-sinx）$，$\overrightarrow{a}=（sinx，cosx）$；
∴$f（x）=\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$
=sinx（sinx-cosx）+cosx（cosx-sinx）
=sin²x-sinxcosx+cos²x-sinxcosx
=1-sin2x；
∴$T=\frac{2π}{2}=π$；
即f（x）的最小正周期为π；
（2）$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$时，$-\frac{π}{2}≤2x≤\frac{π}{2}$；
∴-1≤sin2x≤1；
∴0≤1-sin2x≤2；
∴f（x）的值域为[0，2]．

点评 考查向量坐标的减法运算，以及向量数量积的坐标运算，sin²x+cos²x=1，二倍角的正弦公式，周期的计算公式，以及不等式的性质，正弦弦函数的图象．