Question

20．已知f（n）=$\frac{2n}{n+2}$，若数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=f（a_n-1）（n≥2），求证{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列．

Answer 1

分析 化简a_n=f（a_n-1）=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，从而证明．

解答 证明：∵a_n=f（a_n-1）=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+2}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{2}$（n≥2），
即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$（n≥2），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及整体思想的应用，同时考查了数列的性质的判断．