Question

4．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函数在定义域内为单调递减函数．
（Ⅰ）求$f（1），f（a）+f（{\frac{1}{a}}）$的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点；
（Ⅲ）求满足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的实数m的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）特殊值法：令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，令x=a，y=$\frac{1}{a}$，求解即可；
（Ⅱ）函数在定义域内为单调递减函数，可判断函数有唯一零点，即x=1；
（Ⅲ）根据条件f（2m+1）+f（m）＞0，可得f（2m+1）+f（m）＞f（1），根据函数的性质和单调性可得（m+1）（2m-1）＜0，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
令x=a，y=$\frac{1}{a}$，
∴f（a）+f（$\frac{1}{a}$）=f（1）=0；
（Ⅱ）∵函数在定义域内为单调递减函数，
∵f（1）=0，
∴在定义域内只有一个零点x=1；
（Ⅲ）f（2m+1）+f（m）＞0，
∴f（2m+1）+f（m）＞f（1），
∴（m+1）（2m-1）＜0，
∴-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
∵m＞0，
∴0＜m＜$\frac{1}{2}$

点评 考查了抽象函数的特殊值法应用和利用函数的性质解决实际问题．