Question

15．等比数列的前n项和也构成一个等比数列，即S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…为等比数列，公比为qⁿ．

Answer 1

分析 由等比数列的求和公式和分类讨论可得结论．

解答 解：当公比q=1时，显然可得S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…构成等比数列；
当q≠1时，S_n=（1-qⁿ）
S_2n-S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q²ⁿ-1+qⁿ）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）qⁿ，
同理可得S_3n-S_2n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q³ⁿ-1+q²ⁿ）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）q²ⁿ，
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…，构成公比为qⁿ的等比数列
故答案为：qⁿ．

点评 本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属基础题．