Question

10．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（$\frac{π}{3}$-C）+cos（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求角C；
（2）若c=2$\sqrt{3}$，点O满足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，求$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知展开两角差的正弦和余弦，结合角范围即可求得C；
（2）由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，可知O为△ABC的外心，把$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）转化为$\frac{1}{2}（{a}^{2}+{b}^{2}）$，再由三角形中的余弦定理结合基本不等式求得$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）的取值范围．

解答 解：（1）在△ABC中，由sin（$\frac{π}{3}$-C）+cos（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得$sin\frac{π}{3}cosC-cos\frac{π}{3}sinC+cosCcos\frac{π}{6}+sinCsin\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC-\frac{1}{2}sinC+\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）$c=2\sqrt{3}$，
由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，可知O为△ABC的外心，
∴求$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=$\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{CA}{|}^{2}+|\overrightarrow{CB}{|}^{2}）$．
由${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2ab•cos\frac{π}{3}={a}^{2}+{b}^{2}-ab$，
可得$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}≤12$，
∴$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}≤12$．
∴$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）的取值范围是（0，12]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．