Question

15．已知a，b∈（0，+∞），则下列不等式中不成立的是（　　）

• A． a+b+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$≥2$\sqrt{2}$
• B． （a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）≥4
• C． $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$≥2$\sqrt{ab}$
• D． $\frac{2ab}{a+b}$＞$\sqrt{ab}$

Answer 1

分析 根据基本不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$（当a=b时取“=”）及不等式a²+b²≥2ab（当a=b时取“=”），以及不等式的性质便可判断每个不等式是否成立，从而找出正确选项．

解答 解：∵a，b∈（0，+∞）；
∴A.$a+b≥2\sqrt{ab}$，当a=b时取“=”；
$2\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}}≥2\sqrt{2}$，当ab=$\frac{1}{2}$时取“=”；
∴$a+b+\frac{1}{\sqrt{ab}}≥2\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}}≥2\sqrt{2}$，当$a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取“=”；
∴该不等式成立；
B.$a+b≥2\sqrt{ab}$，当a=b时取“=”；
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥\frac{2}{\sqrt{ab}}$，当a=b时取“=”；
∴$（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）≥4$，当a=b时取“=”；
∴该不等式成立；
C．a²+b²≥2ab，当a=b时取“=”；
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}≥\frac{2ab}{\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}$，当a=b时取“=”；
∴该不等式成立；
D.$a+b≥2\sqrt{ab}$，当a=b时取“=”；
∴$\frac{1}{a+b}≤\frac{1}{2\sqrt{ab}}$；
∴$\frac{2ab}{a+b}≤\sqrt{ab}$，当a=b时取“=”；
∴该不等式不成立．
故选D．

点评 考查基本不等式：a+b$≥2\sqrt{ab}$，当a=b时取“=”，及不等式：a²+b²≥2ab，当a=b时取“=”，在应用这两个不等式时需判断等号能否取到，以及不等式的性质．