Question

6．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=$\sqrt{7}$，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=$\frac{2π}{3}$，AC=$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可求cos∠ADB=-$\frac{1}{2}$，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=$\frac{2π}{3}$，求得∠ADC，利用正弦定理即可得解AC的值．

解答 解：∵AB=$\sqrt{7}$，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，
∴由余弦定理可得：cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{4+1-7}{2×2×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∵∠ADB∈（0，π），
∴∠ADB=$\frac{2π}{3}$，
∴∠ADC=π-∠ADB=$\frac{π}{3}$，
∴由正弦定理可得：AC=$\frac{AD•sin∠ADC}{sin∠ACB}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$，$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．