Question

1．（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵（a为实常数）的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中的常数项是5（用数字作答）

Answer 1

分析 先求出a的值，再利用二项展开式的通项公式求得该展开式中的常数项．

解答 解：∵（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵（a为实常数）的展开式中各项系数的和为32，
令x=1，可得（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵ =（1+a）⁵=32，∴a=1，
故 （$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵ =（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁵ 的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${x}^{\frac{5-5r}{2}}$，
令5-5r=0，可得r=1，故该展开式中的常数项是${C}_{5}^{1}$=5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．