Question

13．已知a，b均为正数．
（1）若a+b=1，求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值；
（2）证明：（1+a+b²）（1+a²+b）≥9ab．

Answer 1

分析 （1）根据a+b=1，从而可得到$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{a+b}{a}+\frac{4（a+b）}{b}$，而a＞0，b＞0，这样根据基本不等式便可求出$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值；
（2）根据三个正数的算术-几何平均不等式便可得出$1+a+{b}^{2}≥3\root{3}{a{b}^{2}}①$，$1+{a}^{2}+b≥3\root{3}{{a}^{2}b}②$，a=b=1时等号便同时成立，这样不等式①×②即可得出要证明的结论．

解答 解：（1）a，b＞0，且a+b=1；
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{a+b}{a}+\frac{4（a+b）}{b}$
=$1+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}+4$
$≥5+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$
=9，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}$，即$b=2a=\frac{2}{3}$时取“=”；
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为9；
（2）证明：
$1+a+{b}^{2}≥3\root{3}{a{b}^{2}}$，当且仅当a=b²=1，即a=b=1时取“=”；
$1+{a}^{2}+b≥3\root{3}{{a}^{2}b}$，当且仅当a²=b=1，即a=b=1时取“=”；
∴$（1+a+{b}^{2}）（1+{a}^{2}+b）≥9\root{3}{{a}^{3}{b}^{3}}=9ab$；
即（1+a+b²）（1+a²+b）≥9ab．

点评 考查基本不等式的应用，清楚用基本不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$求a+b的最小值时，需满足ab为常数，以及三个正数的算术-几何均值不等式的应用，不等式的性质．