Question

12．实数x、y、z、w满足x+y+z+w=1，则M=xw+2yw+3xy+3zw+4xz+5yz的最大值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由x+y+z+w=1化简可得M=xw+2yw+3xy+3zw+4xz+5yz=$\frac{3}{2}$-（x-$\frac{1}{2}$）²-2（y-$\frac{1}{2}$）²-（z-$\frac{1}{2}$）²；从而求得．

解答 解：∵x+y+z+w=1，
∴M=xw+2yw+3xy+3zw+4xz+5yz
=（x+2y+3z）w+3xy+4xz+5yz
=（x+2y+3z）（1-x-y-z）+3xy+4xz+5yz
=（x+2y+3z）-（x²+2y²+3z²）
=$\frac{1}{4}$-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$-2（y-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$-（z-$\frac{1}{2}$）²
=$\frac{3}{2}$-（x-$\frac{1}{2}$）²-2（y-$\frac{1}{2}$）²-（z-$\frac{1}{2}$）²
≤$\frac{3}{2}$；
（当且仅当x=y=z=$\frac{1}{2}$，w=-$\frac{1}{2}$时“=”成立）．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及转化思想及配方法的应用．